Updated On : 02-10-2025
यूलर सूत्र क्या है? — Euler's Formula और परिचयात्मक Group Theory
परिचय —
एक सरल परिकल्पना: आप एक घड़ी की सुई को घुमाते हैं — हर कोण के लिए आप cos और sin देखते हैं; अब कल्पना कीजिए कि e (नेपियर का आधार) और i (काल्पनिक इकाई) की सहायता से वही घुमाव कैसे व्यक्त किया जा सकता है। यही आश्चर्यजनक संबंध है जिसे यूलर सूत्र बताते हैं: eix = cos x + i sin x। यह सूत्र complex numbers, trigonometry और calculus के बीच का पुल है।
यूलर सूत्र क्या कहता है? (Statement)
सामान्य रूप से:
eix = cos x + i sin x
यहाँ x एक वास्तविक संख्या है; बाएं हाथ पर eix एक complex exponential है, और दाएं हाथ पर दो वास्तविक functions (cos, sin) के संयोजन के रूप में complex संख्या दी जा रही है।
De Moivre’s Theorem से संबंध
De Moivre का प्रमेय बताता है कि (cos x + i sin x)^n = cos(nx) + i sin(nx). यूलर सूत्र इस प्रमेय का स्वाभाविक विस्तार है क्योंकि e^{ix} का power लेना rotations को जोड़ने जैसा है।
प्रमाण (Proofs) — तीन सरल दृष्टिकोण
1) Power series (श्रृंखला) द्वारा
हम जानते हैं कि scalar के लिए:
e^{z} = ∑n=0∞ zn/n!
और
cos x = ∑n=0∞ (−1)n x2n/(2n)! , sin x = ∑n=0∞ (−1)n x2n+1/(2n+1)!
z = i x डालने पर (i2 = −1):
e^{ix} = ∑ (i x)^n / n!
= ∑ (i^{2n} x^{2n})/(2n)! + ∑ (i^{2n+1} x^{2n+1})/(2n+1)!
= ∑ (−1)^n x^{2n}/(2n)! + i ∑ (−1)^n x^{2n+1}/(2n+1)!
= cos x + i sin x
इस प्रकार श्रृंखला से साफ़ तौर पर yooler सूत्र निकलता है।
2) Differential equation (ODE) दृष्टिकोण
Consider f(x) = cos x + i sin x। ध्यान दें कि f′(x) = −sin x + i cos x = i (cos x + i sin x) = i f(x)। साथ ही f(0) = 1। इसलिए f(x) वह unique solution है जो f′(x) = i f(x) और f(0)=1 पूरा करता है। परन्तु g(x)=e^{ix} भी वही ODE और आरम्भिक शर्त पूरा करता है; uniqueness से f(x)=g(x)।
3) Geometric / rotation operator दृष्टिकोण (informal)
Complex number re^{iθ} को polar रूप में rotations के रूप में देखा जा सकता है। e^{ix} को rotation operator माना जा सकता है जो इकाई (1) को unit circle पर angle x तक घुमाता है — और वही cos x + i sin x है।
ज्यामितीय अर्थ (Geometric Interpretation)
Complex plane में किसी बिंदु को polar रूप में r e^{iθ} लिखा जाता है जहाँ θ कोण है और r दूरी है। यूलर सूत्र बताता है कि e^{iθ} unit circle पर बिंदु (cos θ, sin θ) है।
इसका एक उपयोग यह है कि complex multiplication rotation को जोड़ता है: e^{iα} e^{iβ} = e^{i(α+β)} — यानी दो rotations जोड़ने से resultant rotation मिलता है।
Group Theory से परिचय (Introductory Group Theory link)
समूह सिद्धांत (Group Theory) की बेसिक भाषा में, unit circle के सभी बिंदु {e^{iθ} : θ ∈ ℝ} एक समूह बनाते हैं — इसे हम U(1) कहते हैं (unitary group of degree 1)।
इस समूह का ऑपरेशन complex multiplication है। गुण होते हैं: closure, associativity, identity (1), और inverse (e^{iθ} का inverse e^{-iθ} है)।
कम-गहराई वाला समझ — क्यों यह महत्वपूर्ण है?
यूलर सूत्र हमें दिखाता है कि trigonometric rotations को exponential map के तौर पर देखा जा सकता है, और यही map Lie group (continuous symmetry group) के मूलभूत विचारों का पहला कदम है — सरल शब्दों में symmetry और rotations को algebraic रूप में व्यक्त करना।
प्रयोग और अनुप्रयोग (Applications)
- Signal Processing / Phasors: sinusoids को e^{iωt} के रूप में represent करना गणित को सरल बनाता है।
- Electrical Engineering: AC circuit analysis में complex exponentials से impedances को handle किया जाता है।
- Quantum Mechanics: Wavefunctions में time evolution operator e^{−iHt/ħ} का उपयोग।
- Fourier Transform: e^{i k x} basis पर signals को expand करना।
AC Circuit Example
AC voltage V(t) = V₀ e^{iωt} के रूप में लिखने से phasor analysis आसान हो जाता है — impedance को algebraic रूप से handle किया जा सकता है।
उदाहरण और Exercises
Example 1 — गणितीय जाँच
x = π के लिए e^{iπ} = cos π + i sin π = −1 + 0 i — जिससे प्रसिद्ध यूलर पहचान मिलती है:
e^{iπ} + 1 = 0
यह सूत्र तीन प्रमुख गणितीय स्थिरांकों (e, π, 1) को जोड़ता है और इसे अक्सर सबसे सुंदर गणितीय पहचान माना जाता है।
Exercise — स्वयं आज़माएँ
सिद्ध करें कि e^{i(α−β)} = e^{iα} e^{−iβ} और इसे geometric तरीके से समझाइए।
हमारा अंतर
Wikipedia या NCERT की तुलना में यह लेख bilingual (हिंदी + English technical) प्रस्तुति देता है, जिससे GATE/NET aspirants को native language में गहराई से समझ मिले।
FAQ — अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यूलर सूत्र किसे कहा जाता है?
e^{ix} = cos x + i sin x को यूलर सूत्र कहा जाता है — यह complex exponential और trigonometric functions को जोड़ता है।
क्या यह सभी real x के लिए सत्य है?
हाँ, x ∈ ℝ के लिए यह श्रृंखला और ODE दृष्टिकोण से सत्य है; analytic continuation से complex x के लिए भी विस्तारित किया जा सकता है।
यूलर पहचान क्या है?
यूलर पहचान e^{iπ} + 1 = 0 है — इसे गणित का एक सुंदरतम संबंध माना जाता है क्योंकि यह e, π, 1, 0 और i को जोड़ता है।
Group Theory से इसका क्या संबंध है?
यूलर सूत्र unit circle (U(1)) के तत्वों को exponential map से जोड़ता है; यह continuous symmetry और rotations की algebraic व्याख्या देता है — समूह सिद्धांत का परिचयात्मक लिंक।
क्या e^{ix} को केवल rotation कहा जा सकता है?
हां — e^{iθ} एक यूनिट modulus complex संख्या है जो origin के आसपास rotation दर्शाती है; multiplication rotations को जोड़ देती है।
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🧑💻 About the Author
Anurag Rai एक टेक ब्लॉगर और नेटवर्किंग विशेषज्ञ हैं जो Accounting, AI, Game, इंटरनेट सुरक्षा और डिजिटल तकनीक पर गहराई से लिखते हैं।
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