फूरियर श्रंखला क्या है? | What Is Fourier Series – Heat Flow से Circles तक

Updated On : 24-09-2025

फूरियर श्रंखला क्या है? (What Is a Fourier Series?)

Heat Flow से Circles तक का गणितीय सफ़र

सामग्री सूची (Table of Contents)

1. परिचय
2. इतिहास और खोज
3. फूरियर श्रंखला का सिद्धांत
4. Heat Flow और Fourier Series
5. Circles से Drawing का Visualization
6. अनुप्रयोग (Applications)
7. प्रश्नोत्तर (FAQ)

परिचय

क्या आपने कभी सोचा है कि किसी भी जटिल तरंग (Complex Wave) या Function को साधारण Sine और Cosine तरंगों के जोड़ से दर्शाया जा सकता है? यही अद्भुत विचार है फूरियर श्रंखला (Fourier Series) का। यह गणितीय टूल किसी भी Periodic Function को अनंत Sinusoids के रूप में तोड़कर उसकी संरचना को समझने में मदद करता है।

इतिहास और खोज

19वीं सदी के गणितज्ञ Jean-Baptiste Joseph Fourier ने हीट फ्लो (Heat Flow) के अध्ययन के दौरान पाया कि तापमान वितरण (Temperature Distribution) को कई Trigonometric Functions के जोड़ के रूप में लिखा जा सकता है। 1822 में उनकी पुस्तक The Analytical Theory of Heat ने गणित में क्रांति ला दी।

फूरियर श्रंखला का सिद्धांत (Concept of Fourier Series)

मान लीजिए कोई Function f(x) जो Periodic है और जिसकी Period T है। Fourier Series बताती है कि:

f(x) = a0/2 + Σ [an cos(nωx) + bn sin(nωx)]
जहाँ ω = 2π/T
  

यहाँ a0, an, bn वे Coefficients हैं जो Function की Shape तय करते हैं। ये Coefficients निम्न Integrals से निकाले जाते हैं:

an = (2/T) ∫ f(x) cos(nωx) dx
bn = (2/T) ∫ f(x) sin(nωx) dx
  

यही गुण Fourier Series को इतनी शक्तिशाली बनाता है कि यह किसी भी जटिल वेवफॉर्म को छोटे छोटे Harmonic Components में तोड़ देती है।

Convergence और Gibbs Phenomenon

Fourier Series convergence के नियम महत्वपूर्ण हैं — यदि function piecewise continuous और piecewise smooth है तो series pointwise converge करती है। स्टेप फंक्शन पर finite partial sums के पास oscillation दिखाई देता है — इसे Gibbs Phenomenon कहा जाता है।

डिजिटल और डिस्क्रीट पहलू (Digital & Discrete Fourier)

जब function non-periodic या sampled data हो तो हम Fourier Transform या Discrete Fourier Transform (DFT) का उपयोग करते हैं। DFT को तेज़ी से compute करने के लिए FFT (Fast Fourier Transform) algorithms का प्रयोग होता है — जो signal processing में अनिवार्य है।

Tip: DFT discrete samples का frequency domain representation देता है; Fourier Series continuous periodic signals के लिए।

Python Example: Compute Fourier Coefficients (NumPy)

import numpy as np

def fourier_coeffs(fx, x, N):
    L = (x[-1]-x[0])/2
    a0 = (1/np.pi) * np.trapz(fx, x)   # scaled example
    an = []
    bn = []
    for n in range(1,N+1):
        an.append((1/np.pi)*np.trapz(fx*np.cos(n*np.pi*x/L), x))
        bn.append((1/np.pi)*np.trapz(fx*np.sin(n*np.pi*x/L), x))
    return a0, np.array(an), np.array(bn)
  

Note: यह simplified snippet है — pedagogy के लिए रखा गया है।

Heat Flow और Fourier Series

Fourier ने सबसे पहले Heat Conduction Problem को सुलझाने के लिए इस श्रंखला का उपयोग किया। उदाहरण के लिए एक लंबी धातु की छड़ (Metal Rod) का Temperature Distribution समय के साथ बदलता है। इसे हल करने के लिए Heat Equation का समाधान Fourier Series के रूप में किया जाता है।

आज भी Physics में Heat Flow, Vibrations, Sound Waves और Electrical Signals को विश्लेषित करने के लिए यह तकनीक Fundamental है।

Solved Examples (Practice)

Example 1 (Simple Fourier Series)

Find Fourier series of f(x)=x on (-π,π).
Solution: a0=0; an = 0; bn = 2(-1)^{n+1}/n. Hence f(x)=2 Σ_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} (sin nx)/n.

Example 2 (Heat Equation hint)

Heat equation u_t = k u_{xx} on 0<x<L with fixed boundary conditions—expand initial condition in Fourier sine series, each mode decays exponentially: A_n e^{-k (nπ/L)^2 t} sin(nπx/L).

Exam Tip: Identify eigenfunctions (sine/cosine) from boundary conditions.

Circles से Drawing (Fourier Drawing)

हाल के वर्षों में Fourier Series का एक लोकप्रिय Visualization है – Drawing with Circles। किसी भी जटिल Shape (जैसे हाथ से लिखी Signature) को घूमते हुए सर्कल्स (Rotating Circles) की Motion से Reconstruct किया जा सकता है। यह Epicycles के माध्यम से Fourier Coefficients को दर्शाता है।

फूरियर श्रंखला के अनुप्रयोग (Applications of Fourier Series)

• Electrical Engineering में Signal Processing
• Image Compression (JPEG) और MP3 Audio Encoding
• Quantum Mechanics में Wave Function Analysis
• Heat Transfer और Fluid Dynamics
• Vibrations और Mechanical Systems

Case Studies: Signal Processing & Compression

Signal Processing: EEG या audio signals को frequency components में analyze कर noise removal और feature extraction किया जाता है।

Image Compression: JPEG में blockwise DCT (Discrete Cosine Transform) उपयोग की जाती है — Fourier family का practical variant।

तुलना: Fourier Series vs Fourier Transform vs Wavelet

Technique	Use Case	Best for
Fourier Series	Periodic signals	Harmonic decomposition
Fourier Transform	Non-periodic/Continuous signals	Frequency spectrum
Wavelet	Time-frequency analysis	Transient/Localized features

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)

1. फूरियर श्रंखला क्या है?

यह एक गणितीय विधि है जिसमें किसी Periodic Function को अनंत Sin और Cos Functions के जोड़ से व्यक्त किया जाता है।

2. फूरियर श्रंखला और फूरियर ट्रांसफॉर्म में अंतर?

Fourier Series Periodic Functions के लिए है जबकि Fourier Transform Non-Periodic Signals को Continuous Frequency Domain में बदलता है।

3. Heat Flow समस्या में इसका उपयोग कैसे होता है?

Heat Equation के समाधान को Fourier Series में व्यक्त करके Temperature Distribution की गणना की जाती है।

4. Engineering Entrance Exams में इसका महत्व?

JEE, GATE, CSIR NET जैसी परीक्षाओं में Fourier Analysis से जुड़े प्रश्न नियमित रूप से पूछे जाते हैं।

5. Circles से Drawing क्यों लोकप्रिय है?

यह Fourier Coefficients को Visualize करने का मज़ेदार तरीका है जिसमें Rotating Circles से जटिल चित्र बनाए जाते हैं।

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🧑‍💻 About the Author

Anurag Rai एक टेक ब्लॉगर और नेटवर्किंग विशेषज्ञ हैं जो Accounting, AI, Game, इंटरनेट सुरक्षा और डिजिटल तकनीक पर गहराई से लिखते हैं।